Consigne: Soit \(A\) la matrice $$A=\begin{pmatrix}0&1&0\\ 0&0&1\\ -2&1&2\end{pmatrix}$$ \(A\) est diagonalisable et ses valeurs propres sont \(-1\), \(1\) et \(2\)
Ses espaces propres associés sont \(E_{-1}=\operatorname{Vect}\begin{pmatrix}1\\ -1\\ 1\end{pmatrix}\), \(E_1=\operatorname{Vect}\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}\) et \(E_2=\operatorname{Vect}\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 4\end{pmatrix}\)
On considère la suite récurrente \((u_n)_n\) définie par la donnée des termes \(u_0\), \(u_1\) et \(u_2\) et par la relation : $$u_{n+3}=2u_{n+2}+u_{n+1}-2u_n$$ en utilisant le vecteur \(X_n=\begin{pmatrix} u_n\\ u_{n+1}\\ u_{n+2}\end{pmatrix}\), donner, à l'aide de \(A\), le terme général \(u_n\) en fonction de \(u_0\), \(u_1\), \(u_2\) et \(n\)
Exprimer \(X_{n+1}\) en fonction de \(X_n\) On a $$X_{n+1}=\begin{pmatrix} u_{n+1}\\ u_{n+2}\\ u_{n+3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} u_{n+1}\\ u_{n+2}\\ 2u_{n+2}+u_{n+1}-2u_n\end{pmatrix}=\underbrace{\begin{pmatrix}0&1&0\\ 0&0&1\\ -2&1&2\end{pmatrix}}_A\begin{pmatrix} u_n\\ u_{n+1}\\ u_{n+2}\end{pmatrix}$$
On a \(P=\begin{pmatrix}1&1&1\\ 1&-1&2\\ 1&1&4\end{pmatrix}\)
Déterminons \(P^{-1}\) grâce à l'algorithme du compagnon : $$\begin{align}&\begin{pmatrix}1&1&1\\ 1&-1&2\\ 1&1&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end{pmatrix}&&\begin{array}{l}c_2\gets c_2-c_1\\ c_3\gets c_3-c_1\end{array}\\ &\begin{pmatrix}1&0&0\\ 1&-2&1\\ 1&0&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1&-1\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end{pmatrix}&&\begin{array}{l}c_1\gets c_1+\frac{c_2}2\\ c_2\gets-\frac{-c_2}2\\ c_3\gets\frac{c_3}3\end{array}\\ &\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\\ 1&0&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1/2&1/2&-3/2\\ 0&-1/2&1/2\\ 0&0&1\end{pmatrix}&&\begin{array}{l}c_1\gets c_1-\frac{c_3}3\\ c_3\gets \frac{c_3}3\end{array}\\ &\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1/2&-1/2\\ -1/6&-1/2&1/6\\ -1/3&0&1/3\end{pmatrix}\end{align}$$
Donc \(P^{-1}=\cfrac16\begin{pmatrix}6&3&-3\\ -1&-3&1\\ -2&0&2\end{pmatrix}\)
Donc $$\begin{align} X_n&=\frac16\begin{pmatrix}1&1&1\\ 1&-1&2\\ 1&1&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&-1&0\\ 0&0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}6&3&-3\\ 2&-3&1\\ -2&0&2\end{pmatrix}\\ &=\frac16\begin{pmatrix}6+2(-1)^n-2^{n+1}&3+3(-1)^{n+1}&-3+(-1)^n+2^{n+1}\\ 6+2(-1)^{n+1}-2^{n+2}&3+3(-1)^n&-3+(-1)^{n+1}+2^{n+2}\\ 6+2(-1)^n-2^{n+3}&3+3(-1)^{n+1}&-3+(-1)^n+2^{n+3}\end{pmatrix}\end{align}$$ et \(u_n=\frac{6+2(-1)^n-2^{n+1}}6u_0+\frac{3+3(-1)^{n+1}}6u_1+\frac{-3+(-1)^n+2^{n+1}}6u_2\)
(Matrice augmentée - Algorithme du compagnon )